Quaterniões: cálculo numérico e simbólico

Abstract

A descoberta dos quaterniões por Sir Hamilton em 1843 foi motivada pela esperança de criar um tipo de números hipercomplexos que estivesse relacionado com o espaço tridimensional da mesma forma que os números complexos estão relacionados com o plano. Actualmente, os quaterniões são reconhecidos como uma ferramenta importante para modelar problemas na maioria das ciências aplicadas: visão por computador, robótica, navegação, realidade virtual, etc. Neste trabalho apresentamos os principais conceitos e propriedades dos quaterniões e descrevemos de que forma os quaterniões podem ser reconhecidos como uma ferramenta única e poderosa para caracterizar rotações no espaço. As contribuições computacionais deste trabalho são as seguintes: 1. QuatCalc: calculadora, desenhada em MATLAB, para realizar operações aritméticas com quaterniões. 2. QuatRot: MATLAB gui para visualização de rotações no espaço, usando quaterniões. 3. Uma colecção de rotinas em MATLAB para realizar rotações 3D. A calculadora QuatCalc, o QuatRotation e todas as funções em MATLAB desenvolvidas no âmbito deste trabalho são do domínio público e podem ser encontradas em: http://www.math.uminho.pt/~mmc/dissertacoes/quaternions.htm

The discovery of quaternions by Sir Hamilton in 1843 was motivated by the hope to create a type of hypercomplex numbers related to the three dimensional space like complex numbers are related to the plane. Nowadays, quaternions are used as a tool for modelling problems in almost all applied sciences: computer vision, robotics, navigation, virtual reality, etc. In this thesis we present the fundamental concepts and properties of quaternions and describe how quaternions can provide a unique and powerful tool for characterizing 3D rotations. The computational contributions of this work are: 1. QuatCalc: a MATLAB calculator for quaternions, which was design to perform quaternion arithmetic. 2. QuatRot: a MATLAB gui for visualizing 3D rotations with quaternions. 3. A collection of MATLAB routines for 3D general rotations. The QuatCalc calculator, QuatRotation and all the functions in MATLAB developed within this work are in the public domain and can be found at: http://www.math.uminho.pt/~mmc/dissertacoes/quaternions.htm