Introdução à teoria de nós

Abstract

A infinidade de nós distintos e as quase “misteriosas” aplicações que lhes foram e são atribuídas, fazem dos nós objectos de estudo científico. Neste trabalho dar-se-á a conhecer um pouco do estudo matemático de um vulgar entrelaçado de fio ou corda que é usado, desde sempre, pelo homem nas mais diversas actividades. Um nó define-se matematicamente como o mergulho de uma circunferência no espaço tridimensional. Os métodos criados para estudar este objecto matemático foram-se desenvolvendo desde finais do século XIX, tendo sido obtidos, nas últimas décadas, resultados surpreendentes. Actualmente os nós são estudados em diversas áreas da matemática e têm aplicações em outras áreas científicas. Sendo o conjunto dos nós um conjunto infinito, um dos seus “mistérios” está associado à sua classificação. A questão primordial da Teoria de Nós e que não está ainda totalmente solucionada, prende-se com o problema de reconhecer quando é que dois nós, aparentemente diferentes, são ou não iguais. Existem invariantes que permitem saber quando é que dois nós são distintos e alguns métodos que proporcionam a classificação de nós com propriedades muito particulares. Estes são os principais assuntos que abordaremos ao longo deste trabalho. No primeiro capítulo são apresentadas noções básicas essenciais para o estudo da Teoria de Nós bem como os primeiros invariantes que permitiram fazer a distinção de alguns nós. Estes invariantes clássicos: tricolorabilidade; número de cruzamentos; número de desatamento são relevantes essencialmente pela sua primasia. Em 1928, para tentar distinguir facilmente nós, Alexander associou a cada nó um polinómio. O polinómio de Alexander não resolveu completamente o problema da classificação (em 1934 aparecem nós diferentes com o mesmo polinómio de Alexander) mas introduziu uma técnica inovadora na área. Posteriormente, outros matemáticos (Conway, Jones, Kauffman,...) definiram, com outros métodos, polinómios associados a nós. O segundo capítulo deste trabalho é dedicado ao estudo de vários desses polinómios. Por fim, e pelo facto de certos nós com propriedades específicas poderem ser univocamente classificados, o terceiro capítulo desta tese dedica-se ao estudo, mediante métodos topológicos, de um desses tipos de nós, os nós toroidais.

The availability of an infinite number of different knots and the “mysterious” applications that have been and still are applied to them, make knots desirable for scientific research. In this work, mathematical tools will be applied to study common knots of string or rope, which have been used by mankind in the most diverse activities since ancient times. In mathematical terms, a knot is defined as an embedding of a circunference in the tridimensional space. The required tools to study this mathematical object are being developed since the end of the XIX century, and surprising results have been obtained in the last few decades. Nowadays, knots are studied by different branches of the mathematical science and the results already obtained are being applied to other scientific areas. Because knots are an infinite family, one of their “mysteries” is associated with how to tabulate them. The prime purpose of Knot Theory, which is not solved yet, is to understand when two knots looking to be the same are equal or not. There are, however, invariants that allow to differentiate between two knots, and some methods have been developed to tabulate knots with certain properties. This thesis will mainly address these issues. In the first chapter, basic notions that are essential to the understanding of Knot Theory are presented, as well as the first invariants (classical invariants: tricolorability; crossing number; unknotting number) that allowed to differentiate between certain knots. In 1928, in an attempt to easily tell knots apart, Alexander assigned to each knot to a polynomial. Alexander polynomial was not able to solve all problems in tabulation (in 1934, it was discovered that some distinct knots had the same Alexander polynomial) but introduced a new technique in the field. Following his footsteps, other mathematicians (Conway, Jones, Kauffman ...) defined, with different methods, polynomials associated to knots. The second chapter of tins work is dedicated to the study of these various polynomials. Finally, and because certain knots with particular properties are able to be unequivocaly tabulated, the third chapter of this thesis addresses, using topological methods, one of those types of knots, the torus knots.