Estudo de propriedades de curvas rectificáveis

Abstract

Esta dissertação tem como objectivo fazer um estudo de propriedades de curvas contínuas, sendo este restrito a curvas simples e rectificáveis. Os conhecimentos necessários para o desenvolvimento do trabalho são alguns conceitos em espaços métricos, noções sobre convexos em R2, a definição e alguns resultados sobre medida zero. O primeiro capítulo introduz algumas noções preliminares necessárias aos capítulos subsequentes. No segundo capítulo aparece a noção de curva simples no plano. Com o intuito de definir o comprimento de curvas rectificáveis, apresenta- -se a definição de distância de Hausdorff. Introduzem-se também as noções de parametrização pelo comprimento de arco e por velocidade instantânea. O terceiro capítulo é dedicado ao conjunto de Cantor e estabelecem-se algumas propriedades deste. São ainda abordadas a função Escada do Diabo e a Curva de Peano, um exemplo célebre duma curva que preenche o quadrado. No capítulo quatro estuda- se a geometria local das curvas rectificáveis estabelecendo relações entre propriedades. No último capítulo estabelece-se uma relação entre o comprimento duma curva e a área da salsicha-ε de Minkowski da curva, quando ε tende para zero. Em anexo apresentam-se breves notas biográficas relativas a Cantor, Hausdorff, Lebesgue, Minkowski, Peano e Weierstrass assim como uma actividade de investigação dirigida a alunos de 12o ano com o intuito de realizarem um desafio no contexto da aplicação das propriedades que estudámos para curvas rectificáveis.

The purpose of this dissertation is to present a study of properties of continuous curves. This study is restricted to simple and rectifiable curves. The necessary knowledge to develop this work are some concepts about metric spaces, notions about convex sets of R2, the definition and some results about zero measure sets. The first chapter introduces some preliminary notions necessary to the subsequent chapters. The second chapter presents the notion of a simple curve in the plane. In order to define the length of rectifiable curves, it is introduced the Hausdorff distance’s definition. The ideas of arc length’s parametrization and parametrization by instantaneous velocity are also presented. The third chapter is dedicated to the Cantor set and some properties of this set are established. It is also defined the Devil’s Staircase and the Peano Curve, a famous example of a curve that fills a square. In chapter four we study the local geometry of rectifiable curves establishing relationships among properties. In the last chapter it is proved a relation between the length of a curve and the area of the Minkowski’s ε -sausage of a curve, when ε tends to zero. In the annex we present biographical notes on Cantor, Hausdorff, Minkowski, Lebesgue Peano and Weierstrass and also a mathematical task applied to high school students who aim to work with challenges. This activity appears in a context where they can test the properties that we studied for rectifiable curves.