Sistemas dedutivos para Lógica Quântica Minimal

Abstract

A definição de uma lógica pode ser feita de duas formas distintas: semântica ou dedutivamente. No primeiro caso, bastar-nos-á determinar a estrutura algébrica associada a essa lógica para que esta fique univocamente definida. No segundo caso, a abordagem não é tão simples, já que podemos definir mais do que um sistema dedutivo para a mesma lógica. A equivalência entre estas duas abordagens é garantida pelos Teoremas da Correção e da Comple tude. Já a equivalência entre os vários sistemas dedutivos pode ser obtida pela tradução entre os seus conjuntos de derivações ou, alternativamente, demonstrando que cada um deles é correto e completo. Assim, independentemente de se optar por uma definição semântica ou dedutiva, é garantido que se está a definir a mesma lógica. Nesta dissertação, caraterizamos a Lógica Quântica Minimal, através da semântica algébrica dos ortor reticulados e dos seus sistemas dedutivos Dedução Natural (Quântica) e Cálculo de Sequentes (Quântico). Provamos a Correção e Completude da Dedução Natural (Quântica) e determinamos a equivalência de demonstrabilidade entre os dois sistemas dedutivos, através de traduções entre as suas derivações. No sentido de tornar a exposição mais acessível, partimos de um contexto mais familiar, a Lógica Clássica, para o qual determinamos a equivalência de demonstrabilidade entre dois dos seus sistemas dedutivos: a Dedução Natural (Clássica) e o Cálculo de Sequentes (Clássico). Fazemos ainda uma breve comparação entre ambas as lógicas, evidenciando as suas diferenças através de exemplos.

The definition of a logic can be obtained in two distinct ways: semantically or deductively. In the first case, it will be sufficient to determine the algebraic structure associated with this logic for it to be univocally defined. In the second case, the approach is not that simple, as we can define more than one deductive system for the same logic. The equivalence between these two approaches is guaranteed by the Soundness and Completeness Theorems. The equivalence between the different deductive systems can be obtained by the translation between their sets of derivations or by demonstrating that each one of them is correct and complete. Thus, regardless of whether one chooses a semantic or deductive definition, it is guaranteed that is defining the same logic. In this dissertation, we characterize Minimal Quantum Logic through the algebraic semantics of ortholattices and its deductive systems (Quantum) Natural Deduction and (Quantum) Sequent Calculus. We prove the Soundness and Completeness of (Quantum) Natural Deduction and determine the equivalence of demonstrability between the two deductive systems, through the translations between their derivations. To make it clearer, we start from a more familiar context, the Classical Logic, for which we determined the equivalence of demonstrability between two of its deductive systems: (Classic) Natural Deduction and (Classic) Sequent Calculus. We also make a brief comparison between both logics, highlighting their differences through examples.