Um estudo sobre reticulados distributivos

Abstract

Nesta dissertação de mestrado, intitulada ”Um estudo sobre reticulados distributivos”, é desenvolvido um estudo sobre um dos ramos mais antigos da teoria de reticulados: os reticulados distributivos. Um reticulado distributivo é um reticulado cujas operações binárias são distributivas uma face à outra. Assim sendo, quando a teoria dos reticulados é restringida apenas ao estudo destes reticulados, torna-se necessário saber caraterizar e representar os reticulados distributivos de modo a simplificar a sua identi ficação em relação aos restantes reticulados. Como será constatado ao longo da dissertação, existem, de facto, várias formas de os caraterizar e representar; para tal, tem-se por auxílio alguns conceitos da teoria de reticulados como os ideais/filtros, as relações de congruência, os homomorfismos e os elementos ∧-irredutíveis/∨-irredutíveis/primos/complementados. Inicialmente, são recordados conceitos básicos sobre conjuntos parcialmente ordenados, álgebra uni versal e teoria geral de reticulados; destaque-se que é equivalente um reticulado ser considerado como um conjunto parcialmente ordenado ou como uma estrutura algébrica. O capítulo final desta dissertação é reservado ao estudo das álgebras de Boole. O interesse em abordar estas álgebras deve-se ao facto de as mesmas terem um reticulado distributivo como reduto, para além de serem as estruturas algébricas que estão envolvidas na génese da teoria de reticulados e, em particular, da de reticulados distributivos. São apresentadas várias propriedades destas estruturas algébricas, com o objetivo de encontrar caraterizações e representações das mesmas.

In this master’s dissertation, entitled ”A study on distributive lattices”, a study is developed on one of the oldest branches of lattice theory: the distributive lattices. A distributive lattice is a lattice whose binary operations are distributive towards each other. Therefore, when the lattice theory is restricted to the study of these lattices, it becomes necessary to know how to characterize and represent the distributive lattices in order to simplify their identification in relation to the other lattices. As will be seen throughout the dissertation, there are, in fact, several ways to characterize and represent them; for that, some concepts of the lattice theory, such as ideals/filters, congruence relations, homomorphisms and ∧-irreducible/∨-irreducible/prime/complemented elements, are used as help. Initially, basic concepts about partially ordered sets, universal algebra and general lattice theory are recalled; it shall be highlighted that it is equivalent for a lattice to be considered as a partially ordered set or as an algebraic structure. The final chapter of this dissertation is reserved for the study of Boolean algebras. The interest in approaching these algebras is due to the fact that they have a distributive lattice as a reduct, in addition to being the algebraic structures that are involved in the genesis of the lattice theory and, in particular, of the distributive lattice theory. Several properties of these algebraic structures are presented, with the aim of finding characterizations and representations of them.