On the de Rham cohomology of locally trivial Lie groupoids over triangulated manifolds

Abstract

Based on the isomorphism between Lie algebroid cohomology and piecewise smooth cohomology of a transitive Lie algebroid, it is proved that the de Rham cohomology of a locally trivial Lie groupoid G on a smooth manifold M is isomorphic to the piecewise de Rham cohomology of G, in which G and M are manifolds without boundary and M is smoothly triangulated by a finite simplicial complex K such that, for each simplex ∆ of K, the inverse images of ∆ by the source and target mappings of G are transverses submanifolds in the ambient space G. As a consequence, it is shown that the piecewise de Rham cohomology of G does not depend on the triangulation of the base.

На основі ізоморфізму між когомологіями алгеброїдів Лі та кусково-гладкими когомологіями транзитивних алгеброїдів Лі доведено, що когомології де Рама локально тривіального групоїда Лі G на гладкому многовиді M ізоморфні кусковим когомологіям де Рама G, за умови, що G і M – це многовиди без межі, причому M допускає гладку триангуляцію до скінченного симпліциального комплексу K такого, що для кожного симплексу ∆ з K прообраз ∆ відносно початкового та кінцевого відображення G є трансверсальними підмноговидами в G. В якості наслідку, показано, що кускові когомології де Рама G не залежать від триангуляції бази.