Sobre um método proposto por José Sebastião e Silva para o cálculo de raízes de uma equação algébrica

Abstract

Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências - Formação Contínua de Professores - área de especialização em Matemática. É objetivo principal desta tese aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do meu desempenho profissional. Também gostaria que este trabalho viesse a ser lido por outros professores de Matemática do Ensino Básico e Secundário e que constituísse também para eles uma experiência de reflexão sobre o que se ensina (e como se ensina) no tema das equações algébricas. Neste trabalho estudaremos um dos métodos apresentados por Sebastião e Silva em [SebSilva1940] e também os métodos de Graeffe e de Newton – Raphson que com aquele se relacionam. Incluído neste estudo está a análise da convergência baseada no “Teorema Fundamental” de Sebastião e Silva, resultado original e muito interessante. As ferramentas matemáticas envolvidas no método de Sebastião e Silva são: a) as relações de Vieta para encontrar a aproximação u da menor das raizes de um polinómio; b) a transformação algébrica do polinómio decorrente da mudança de variável y = x-u ; c) a transformada de Graeffe para a aceleração da convergência. Usadas de forma iterativa, a) e b) são afinal matematicamente equivalentes ao método de Newton- Raphson e a proposta de Sebastião e Silva difere daquele método clássico apenas na utilização da transformada de Graeffe para aumentar o afastamento entre as raízes, melhorando assim a rapidez de convergência. Incluiremos secções onde tratamos, de forma autónoma, a transformada de Graeffe (secção 2) e o método de Newton-Raphson (secção 3). Em cada caso procurámos expôr de forma suficientemente detalhada a teoria básica subjacente e usámos exemplos ilustrativos do funcionamento dos métodos. Reservámos uma secção própria (secção 4) para o “Teorema Fundamental” que aparece no primeiro parágrafo de [SebSilva1940] onde Sebastião e Silva apresenta uma condição necessária e suficiente para a convergência de um método iterativo. Optámos por não reproduzir a demonstração do Teorema Fundamental e dar ênfase à sua interpretação no caso dos exemplos incluídos.

This is a dissertation for obtaining the MSc degree “Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores, área de especialização em Matemática”. The main goal of this work is to enlarge my scientific background and to develop skills that make me a better secondary school teacher. Also, it is my wish that this thesis is read by other teachers of Mathematics and becomes for them an opportunity for rethinking what is taught (and how it is taught) in the topic of algebraic equations. In this work we study one of the methods presented by Sebastião e Silva in [SebSilva1940], as well as the classic methods of Graeffe and Newton-Raphson, because these are related to the first one. We also devoted our attention to the convergence analysis of the method based upon an original and interesting theoretical result that Sebastião e Silva called “The Fundamental Theorem”. The mathematical tools used in the method of Sebastião e Silva are: a) the Vieta relations to find an approximation u for the smallest root of a polynomial; b) the algebraic transformation of the polynomial that corresponds to a change of variable y=x-u (roots displacement); c) the Graeffe transformation for accelerating the convergence. Used in an iterative way, a) and b) are mathematically equivalent to the Newton-Raphson method and the method of Sebastião e Silva differs from that classical method on using the Graeffe transformation to get a polynomial whose roots are the squares of the roots of the transformed polynomial, thus better separated, increasing the convergence speed. We include sections dedicated to the Graeffe transformation (section 2) and the Newton-Raphson method (section 3). In both cases we tried to expound in a sufficiently detailed way the basic theory and we included many examples that illustrate how the methods work. We have reserved an autonomous section for the “Fundamental Theorem” in which Sebastião e Silva gives a necessary and sufficient condition for the convergence of an iterative method. We do not include the proof of the theorem (which may be found in [SebSilva1940]) but we include examples in order to make a complete interpretation of the theorem.