Complexidade topológica

Abstract

A noção de complexidade topológica de um espaço X surgiu, de certa forma, devido ao problema da planificação de movimentos na área da Robótica. Dados dois pontos A e B de um espaço X, o problema da planificação de movimentos consiste em determinar um caminho contínuo que ligue o ponto inicial A ao ponto final B. Em espaços topológicos conexos por arcos, este problema tem sempre solução, no entanto não existe um procedimento contínuo para associar a cada par de pontos um caminho que os ligue. Michael Farber iniciou o estudo deste fenómeno topológico no seu artigo “Topological complexity of motion planning”[7] de 2001. O autor associou a cada espaço topológico X conexo por arcos um número representado por TC(X) chamado de complexidade topológica de X e que é uma medida de descontinuidade da planificação de movimentos. Neste trabalho, iremos apresentar e demonstrar algumas propriedades do invariante TC(X) e calcular o seu valor para alguns espaços topológicos.

In a way, the notion of topological complexity of a space X emerged due to the motion planning problem in Robotics. Given two points A and B of a space X, the motion planning problem consists in determining a continuous path that connects the initial point A to the final point B. In a path-connected topological space, this problem has always a solution. However, there does not exist a continuous procedure which associates to any pair of points a path connecting them. Michael Faber started the study of this topological phenomenon in his article “Topological complexity of motion planning”[7] de 2001. The author associates to any path-connected topological space X a number TC(X), called the topological complexity of X, which is a measure of motion planning discontinuity. In this work, we will present and demonstrate some properties of the invariant TC(X) and calculate its value for some toplogical spaces.