On conditional quantum control

Abstract

The purpose of this dissertation is to ascertain the feasibility of quantum control. This is a rather informal concept, however in the context of this work it simply means the control flow of a quantum program being performed without resorting to measurements and without being mediated by an external classical computer. The approach consists in providing a definition of a conditional like statement which encapsulates the intended behaviour. The definition is given as a specific morphism in a Biproduct Dagger Compact Closed Category. These were introduced by Abramsky and Coecke (2004) as a semantic framework capable of expressing the axioms of closed system finite dimensional Quantum Mechanics. Later this framework was extended to capture Open System Quantum Mechanics (Selinger, 2007). As a consequence, and as it pertains to this dissertation, the construct presented in this work has an interpretation for both closed quantum systems (category of finite-dimensional Hilbert spaces and Linear maps) and open quantum systems (category of finite-dimensional Hilbert spaces and Completely Positive maps). What was found is that in closed quantum systems the proposed construct transpires the idea of superposition of programs as conceptualized in previous works on the matter (Badescu and Panangaden, 2015) (Ying et al., 2014), which gives validity to the notion of quantum control at least in this context. On the other hand, in open quantum systems the meaning of the conditional statement proposed takes the form of probabilistic branching dependent on the probability distribution of a bit. Finally a comparison is made between this work and the one carried out by Badescu and Panangaden (2015) in the context of the QPL programming language (Selinger, 2004), which concludes with a discussion about the incompatibility of quantum control in programming languages whose semantics are based on the open quantum system formalism.

Esta dissertação tem como propósito averiguar a viabilidade de controle quântico. Sendo este de um certo modo um conceito informal, no contexto desta dissertação significa simplesmente o controle do fluxo da execução de um programa quântico sem recorrer a medições e sem ser mediado por um computador clássico externo. A abordagem consiste em especificar a definição de uma expressão condicional que encapsule o comportamento desejado. Esta definição é dada como um determinado morfismo numa categoria Biproduct Dagger Compact Closed. Estas foram introduzidas por Abramsky and Coecke (2004) como modelo semântico capaz de expressar os axiomas da Mecânica Quântica para sistemas fechados finitos. Mais tarde este modelo foi expandido de forma a poder encorporar sistemas abertos (Selinger, 2007). Consequentemente, e no que diz respeito a esta dissertação, a construção aqui apresentada terá uma interpretação tanto para sistemas fechados (categoria de espaços de Hilbert de dimensão finita e transformações lineares) como para sistemas abertos (espaços de Hilbert de dimensão finita e mapeamentos completamente positivos). Para sistemas quânticos fechados foi concluído que a construção proposta transparece a idéia de sobreposição de programas conceitualizado em investigações anteriores acerca do assunto (Badescu and Panangaden , 2015) (Ying et al., 2014), o que valida a noção de controle quântico pelo menos neste contexto. Por outro lado, para sistemas quânticos abertos a expressão condicional sugerida toma a forma de "braching" probabilistico dependente da distribuição probabilistica de um bit. Por fim, é feita uma comparação entre este e o trabalho realizado por Badescu and Panangaden (2015) no contexto da linguagem de programação QPL (Selinger, 2004), que conclui numa discussão sobre a imcompatibilidade de controle quântico em linguagens de programação cuja semântica é baseada em sistemas quânticos abertos.