Integração geométrica e uma aplicação à dinâmica molecular

Abstract

Os sistemas hamiltonianos desempenham um papel central na integraçãao geométrica, uma vez que muitos problemas em áreas tais omo a mecânica, astronomia e dinâmica molecular têm estrutura hamiltoniana. A Hamiltoniana muitas vezes representa a energia total do sistema; de facto, se uma Hamiltoniana não depender explicitamente do tempo, então o seu valor é invariante e o sistema é conservativo. No entanto, os sistemas hamiltonianos não são, necessariamente, conservativos. Integradores geométricos são métodos que conservam as propriedades qualitativas asso- ciadas ás soluções do sistema hamiltoniano em estudo. O objectivo principal desta tese é estudar os métodos numéricos que pertencem µa classe dos integradores geométricos. Inicialmente, introduz-se o conceito de integrador geométrico e sumariza-se algumas das vantagens e desvantagens do seu uso. Numa segunda fase, sintetiza-se a teoria básica dos sistemas lagrangianos e hamiltonianos. Posteriormente, faz-se uma revisão de alguns métodos numéricos, nomeadamente, os métodos de Euler e as suas variantes, a família Runge-Kutta e os métodos Störmer-Verlet e Newmark. A família Runge-Kutta é descrita com detalhe, em termos da sua caracterização em métodos explícitos, implícitos e particionados. De seguida, são ponderados os motivos que justificam o papel central que os métodos Störmer-Verlet e Newmark assumem na dinâmica molecular e estrutural, respectivamente. É apresentada uma derivação variacional dos integradores numéricos e, também, feita uma selecção e classificação dos integradores numéricos que se incluem na classe dos integradores geométricos. O capítulo não é dedicado à simulação de um problema em dinâmica molecular; o problema é modelado pelas clássicas equações do movimento de Newton e quatro cenários diferentes são testados, sendo as equações do movimento integradas pelo método Störmer-Verlet.

Hamiltonian systems play a central role in geometric integration since many problems in areas such as mechanics, astronomy and molecular dynamics have a Hamiltonian struc- ture. The Hamiltonian usually represents the total energy of the system; indeed, if a Hamiltonian does not explicitely depend on time, then its value is invariant and the system is conservative. More generally, however, Hamiltonian systems need not be conservative. Geometric integrators are methods that conserve qualitative properties associated to the solutions of the Hamiltonian system under study. The main objective of this thesis is to study the numerical methods that belong to the class of geometric integrators. I first review the concept of geometric integration and summarise some of the advantages and disadvantages of its use. I then outline the basic theory for Lagrangian and Hamiltonian systems. I then summarise the known numerical integrators including Euler and its variants, the Runge-Kutta family, the Störmer-Verlet and Newmark methods. The Runge-Kutta family is described in detail in terms of characterising them as explicit, implicit and partitioned methods. This is followed by a discussion of the important roles that the Störmer-Verlet and Newmark methods assume in molecular and structural dynamics, respectively. Next, I introduce a variational derivation of numerical integrators, and then classify those which are geometric integrators. The final chapter is dedicated to a problem in simulating molecular dynamics; the problem is modeled by the classic Newton equations of motion and four diferent scenarios are presented where the equations of motion are integrated by the Störmer-Verlet method.