Sobre o semigrupo de endomorfismos de um conjunto ordenado

Abstract

Com esta dissertação pretendemos caracterizar a classe dos c.p.o.’s para os quais o semigrupo dos endomorfismos é regular. Este estudo não seria possível sem o contributo de matemáticos, que permitiram a progressão da Álgebra em várias vertentes, nomeadamente, Clifford e Preston [3], que em 1961 estudaram o semigrupo das aplicações de um conjunto qualquer em si próprio. Em 1989, Adams e Gould [1] retomaram esse estudo e particularizaram-no para c.p.o.’s, tendo considerado também a regularidade do semigrupo dos endomorfismos e de Blyth [2] que, em 1995, caracterizou o semigrupo ordenado dos endomorfismos de um c.p.o.. Assim, o presente trabalho divide-se em três partes, sendo o objectivo principal do primeiro capítulo, familiarizar o leitor com a notação utilizada, apresentar alguns exemplos de c.p.o.’s sobre os quais nos debruçaremos, bem como algumas definições e resultados necessários ao desenvolvimento do tema central. No capítulo seguinte, iremos comprovar que a classe dos c.p.o.’s P para os quais End (P) é regular é constituída apenas por seis tipos de c.p.o.’s. Deste modo, apresentaremos as diferentes funções que permitem atestar a regularidade do semigrupo dos endomorfismos. Finalmente, no terceiro capítulo, acrescentaremos a ordem ao semigrupo dos endomorfismos e estudaremos em que condições é que tal semigrupo é regular e principalmente ordenado.

With this essay we wish to characterize the class of the c.p.o.’s for which the semigroups of endomorphisms is regular. This study would not be possible without the contribute of mathematicians, who allowed the growing of Algebra in several ways, namely, Clifford and Preston [3], who in 1961 studied the semigroup of uses of any set in it self. In 1989, Adams and Gould [1] took back this study and particularized it to c.p.o.’s, considering also the regularity of semigroup of endomorphisms and Blyth [2], who in 1995, characterized the semigroup ordered endomorphisms of a c.p.o.. So, the present work is divided in three parts, being the main goal of the first chapter, to familiarize the reader with the used notation, present some examples of c.p.o.’s in which we will lean on, as well as some definitions and results required to the expansion of the theme subject. In the next chapter we will confirm that the class of c.p.o.’s P for which End (P) is regular is composed only by six kinds of c.p.o.’s. This way we will present the different functions that allow to testify the regularity of the semigroup of the endomorphisms. Finally, in the third chapter, we will add the order to the semigroup of the endomorphisms and we will study in which conditions such semigroup is regular and mainly ordered.