Homologia dirigida

Abstract

No âmbito da sua investigação em topologia algébrica dirigida, Marco Grandis desenvolveu uma teoria de homologia dirigida para conjuntos cúbicos. Neste trabalho adaptamos a teoria de Grandis para conjuntos pré-cúbicos, que são mais adequados para aplicações em teoria de concorrência. Introduzimos os principais conceitos fundamentais sobre conjuntos pré-cúbicos, definindo, em particular, a homologia de um conjunto pré-cúbico. Estudamos grupos abelianos pré-ordenados e a homologia de complexos de cadeias dirigidos. Por fim, estudamos a homologia dirigida de conjuntos pré-cúbicos, onde relacionamos a homologia dirigida em grau 0 com a conexidade, estabelecemos uma variante do Teorema da Invariância e provamos teoremas sobre a homologia dirigida de pushouts e de produtos tensoriais de conjuntos pré-cúbicos.

In the framework of his research on directed algebraic topology, Marco Grandis developed a theory of directed homology for cubical sets. In this work, we adapt Grandis' theory to precubical sets, which are more suitable than cubical sets for applications in concurrency theory. We introduce the main fundamental concepts about precubical sets defining, in particular, the homology of a precubical set. We study preordered abelian groups and the homology of directed chain complexes. Finally, we study the directed homology of precubical sets, where we relate the directed homology in degree 0 with connectedness, establish a variant of the Invariance Theorem, and prove theorems about the directed homology of pushouts and tensor products of precubical sets.