Resolução numérica da equação de Poisson

Abstract

Esta dissertação tem como objetivo a resolução numérica da equação de Poisson com condições de fronteira de Dirichlet. Como exemplo de aplicação, consideramos o problema da determinação dos valores de equilíbrio da temperatura em pontos do interior de um domínio plano (quadrado). A discretização do problema é feita com a fórmula clássica dos cinco pontos. Para a resolução do sistema de equações, limitar-nos-emos a usar os métodos iterativos de Jacobi, de Gauss-Seidel e SOR (sobre-relaxação sucessiva). Apresentamos a teoria relevante para o problema, em particular no que diz respeito à convergência dos métodos referidos. Desenvolvemos e testámos códigos Matlab que implementam os métodos.

The subject of this dissertation is the numerical resolution of Poisson's equation with Dirichlet's boundary conditions. As an example of application, we consider the problem of determining the steady state values of temperature at points in the interior of a flat (square) domain. The discretization of the problem is carried out with the classic five points formula. For the solution of the linear system of equations, we limit ourselves to using the iterative methods of Jacobi, Gauss-Seidel and SOR (successive over-relaxation). We present the theory relevant to the problem, in particular with regard to the convergence of the referred methods. We have developed and tested Matlab codes that implement the methods.