O problema de Lucas, um problema clássico de análise combinatória

Abstract

Nesta tese estudamos um problema clássico de combinatória, conhecido por "Problema de Lucas", que consiste na contagem do número de formas que se obtém ao sentar um determinado número de casais em torno de uma mesa redonda, alternando homens e mulheres, de tal modo que nenhum elemento de cada casal fique sentado ao lado do seu par. A tese apresenta uma solução do problema, essencialmente baseada nos lemas de Kaplansky, explorando as diversas etapas da sua resolução, suportadas nos fundamentos matemáticos apresentados preliminarmente. Este trabalho inclui um conjunto de exercícios relacionados com o Problema de Lucas e com alguns dos resultados fulcrais abordados ao longo da tese. Estes exercícios foram pensados para trabalhar em sala de aula com alunos do 12º ano do ensino secundário, com o objetivo de enriquecer e complementar o programa de matemática relativo ao tema de combinatória.

In this work we study a classic combinatorial problem, known as "Lucas Problem", which consists in counting the number of forms obtained by seating a certain number of couples around a round table, alternating men and women, so that none of the elements of each couple seats next to its pair. The thesis presents a solution to the problem, essentially based on the Kaplansky lemmas, exploring the several stages of its resolution, supported by the mathematical fundamentals preliminarily presented. This work includes a set of exercises related both to the Lucas Problem and to some of the key results addressed throughout the thesis. These exercises were designed to be worked in the classroom with students from the 12th grade, with the aim of enriching and complementing the mathematics program for what concerns the combinatorial topic.