Conceções de alunos do 11º ano acerca dos conceitos de taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto

Abstract

No âmbito do Estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário foi desenvolvido um projeto em que pretendia analisar as conceções dos alunos de uma turma do 11º ano de escolaridade relativamente aos conceitos de reta tangente ao gráfico de uma função e de taxa de variação de uma função num ponto. Esta investigação estruturou-se a partir dos três seguintes objetivos: (1) identificar conceções dos alunos acerca da taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto; (2) explorar as conceções dos alunos no ensino do conceito de taxa de variação e (3) avaliar o impacto do ensino nas conceções dos alunos sobre taxa de variação e reta tangente ao gráfico de uma função num ponto. Tendo em vista atingir os objetivos propostos, foi realizado um teste diagnóstico, que foi aplicado no início e no final da intervenção; foi realizada uma intervenção pedagógica, em que foram feitas gravações em áudio e vídeo das aulas e fotocopiados os cadernos dos alunos; e, finalmente, avaliaram-se as aprendizagens dos alunos através da realização de uma questão-aula e algumas questões incluídas num teste sumativo. Na avaliação diagnóstica constata-se que, geralmente, os alunos apresentaram conceções erradas acerca do conceito de reta tangente, relacionando-o com o conceito de reta tangente à circunferência. Após a implementação da intervenção pedagógica observaram-se progressos nos resultados alcançados, embora alguns alunos continuem a manter as dificuldades antes identificadas. Os alunos adquiriram uma noção intuitiva sobre se uma reta é ou não tangente ao gráfico num ponto, mas, em geral, não visualizaram a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto como o limite de retas secantes traçadas em torno desse ponto, nem associaram o declive da reta tangente ao valor da derivada no ponto. Relativamente ao conceito de taxa de variação, os alunos apresentaram dificuldades em interpretar geometricamente o conceito, não recorrendo a uma visualização gráfica para resolver tarefas ou para confirmar geometricamente os resultados obtidos. Em geral, às dificuldades referidas acrescentam-se aquelas que resultaram de relacionar os diferentes conceitos estudados, o que revela a natureza complexa destes conceitos. Face a estas dificuldades, a linearização do gráfico da função no ponto pode constituir uma estratégia complementar ao limite das retas secantes para explorar o conceito de reta tangente.

Dans le cadre du stage proffissionnel dans le domaine de Maitrise en Enseignement de Mathématique 3.º cycle de l’Enseignement base et Enseignement Secondaire un projet a été mis au point, qui vise analyser les conceptions des élèves dans une classe de 11.º année par rapport aux concepts de la tangente au graphique d'une fonction et au taux de variation d'une fonction en un point. Cette recherche a été structuré à partir des trois objectifs suivants: (1) identifier les conceptions des élèves sur le taux de changement et tangente à une fonction à un tableau de points; (2) explorer les conceptions des élèves dans l'enseignement sur la notion de taux de changement et (3) évaluer l'impact de l'éducation dans les conceptions des élèves sur le taux de croissance et tangente à la représentation graphique d'une fonction en un point. Afin d'atteindre les objectifs proposés, un test de diagnostic appliqué au début et à la fin de l'intervention a été effectué; une intervention éducative, ils ont fait des enregistrements audio et vidéo des cours et photocipié les cahiers des élèves; et enfin on a évalué les apprentissages des élèves en procédant à une question de classe et quelques questions incluses dans un test sommatif. Atravers de l'évaluation diagnostique on constate que, en général, les étudiants ont présenté des idées incorrectes à propos du concept de ligne tangente, reliant à la notion de tangente au cercle. Après la mise en pratique de l'éducation intervention on a pu observer des progrès dans les résultats obtenus, bien que certains élèves continuent à manifester les difficultés auparavant identifiées. Les étudiants ont acquis un sens intuitif si une ligne est ou non tangente au graphique en un point, mais en général, ils n’ont pas vu la ligne tangente au graphique d'une fonction en un point comme le limite de lignes droites autour de ce point, ni associés la pente de la ligne tangente à la valeur du dérivé au point. En ce qui concerne la notion de taux de changement, les élèves ont eu des difficultés dans l'interprétation du concept géométriquement, n’ayant eux utiliser une vuasualisation graphique pour résoudre des tâches ou pour confirmer les résultats obtenus géométriquement. En général, ces difficultés sont ajoutées à celles qui ont conduit à relier les différents concepts étudiés, qui révèle la nature complexe de ces concepts. Compte tenu de ces difficultés, la fonction de linéarisation graphique au point peut être une stratégie complémentaire à la limite de lignes sécantes à explorer le concept de la tangente.