Estabilidade de Hamiltonianos

Abstract

Nesta breve nota considera-se o contexto dos sistemas Hamiltonianos, definidos numa variedade simplética M de dimensão 2d (d >= 2). Prova-se que um sistema Hamiltoniano estrela é Anosov. Como consequência obtém-se a prova da conjetura da estabilidade para Hamiltonianos. Prova-se ainda que um sistema Hamiltoniano H é Anosov se qualquer das seguintes afirmações se verifica: H é robustamente topologicamente estável; H é estavelmente sombreável; H é estavelmente expansivo; e H possui a propriedade de especificação fraca estável. Além disso, para um Hamiltoniano C2-genérico, a união das hipersuperfícies de energia regulares parcialmente hiperbólicas e das órbitas fechadas elípticas, forma um subconjunto denso de M. Como consequência, qualquer hipersuperfície de energia regular robustamente transitiva de um Hamiltoniano C2 é parcialmente hiperbólica. Por fim, as hipersuperfícies de energia regulares estavelmente fracamente sombreáveis são parcialmente hiperbólicas.

In this brief note we consider the setting of Hamiltonian systems, defined on a 2d-dimensional symplectic manifoldM (d 2). We prove that a Hamiltonian star system is Anosov. As a consequence we obtain the proof of the stability conjecture for Hamiltonians. We also prove that a Hamiltonian system H is Anosov if any of the following statements holds: H is robustly topologically stable; H is stably shadowable; H is stably expansive; and H has the stable weak specification property. Moreover, for a C2-generic Hamiltonian H 2 C2(M,R), the union of the partially hyperbolic regular energy hypersurfaces and the closed elliptic orbits, forms a dense subset of M. As a consequence, any robustly transitive regular energy hypersurface of a C2-Hamiltonian is partially hyperbolic. Finally, stably weakly shadowable regular energy hypersurfaces are partially hyperbolic.