Teoria qualitativa de matrizes: caso da característica mínima

Abstract

Um padrão (padrão de sinais) é uma matriz com +'s e 0's (+'s, -'s e 0's). Naturalmente associado a um padrão (padrão de sinais) está um conjunto de matrizes cujas entradas são não nulas (positivas, negativas) precisamente nas posições dos *'s (+'s, -'s) do padrão (padrão de sinais).

A teoria qualitativa de matrizes ocupa-se da caracterização de padrões (padrões de sinais) que requerem ou admitem uma dada propriedade. Este tipo de estudo, independente dos elementos que compõem a matriz, evidencia propriedades estruturais das matrizes e é, assim, um excelente contributo para o conhecimento da estrutura das matrizes.

O estudo dos padrões de sinais é usado segundo várias perspectivas da Álgebra linear, da combinatória e da economia. Existem muitos problemas de diversas áreas cuja resolução usa padrões de sinais, como por exemplo, problemas que se referem a mercados de produtos onde se pretende encontrar a melhor resposta que relacione preço e quantidade tendo em conta oferta e procura.

Uma questão que surge naturalmente quando se estudam padrões de matrizes é a de saber quais as possíveis características de uma matriz que tenha um determinado padrão ou padrão de sinais. Saber qual a característica máxima é um problema fácil e resolvido. Contrariamente, o estudo da característica mínima revelou-se um problema de grande dificuldade que ainda não está completamente resolvido, mas que tem aplicações, por exemplo no estudo de redes neuronais.

O objectivo do presente trabalho é apresentar vários resultados relativos à característica mínima de padrões, bem como várias técnicas utilizadas na abordagem destes problemas.

A pattern (sign pattern) is a matrix whose entries are *'s and 0's. Naturally associated with a pattern (sign pattern) there is a set of matrices which are nonzero entries (positive, negative) precisely the positions of *'s and 0's (+'s and -'s) of the pattern (sign pattern).

A qualitative theory of matrices is based on the characterization of patterns that require or permit a given property. This type of study, regardless of the elements that make up of the matrix, shows structural properties of matrices and is, thus, an excellent contribution to the knowledge of the structure of the matrices.

The study of sign patterns is used based on multiple perspectives of linear Algebra, combinatorics and economy. There are many problems in different areas whose resolution uses sign patterns, for example, problems that refer to markets of products where you can find the best answer that relates price and quantity considering supply and demand.

A question that arises naturally when studying patterns of matrices is to know what the possible characteristics of a matrix that has a certain pattern or sign pattern. To know the maximum rank is an easy and solved problem.

Contrarily, the study of the minimum rank proved to be a problem of great difficulty that is not yet completely solved, but which has applications, for example, in study of neural networks.

The aim of this paper is to present several results in relation to the minimum rank of patterns, as well as various techniques used in addressing these problems.