A resolução de problemas que envolvem a generalização de padrões em contextos visuais : um estudo longitudinal com alunos do 2.º ciclo do ensino básico

Abstract

A resolução de problemas constitui uma capacidade matemática fundamental e simultaneamente uma abordagem privilegiada para a aprendizagem de diversos conceitos, representações e procedimentos matemáticos. É, por isso, preocupante o insucesso apresentado pelos nossos alunos, no que refere à resolução de problemas, tanto nas aulas de Matemática como em estudos de avaliação nacionais e internacionais. As tarefas que envolvem a exploração de padrões proporcionam um maior envolvimento dos alunos na actividade matemática, promovendo a utilização de um raciocínio organizado, baseado na formulação e teste de conjecturas, na generalização e na argumentação, o que pode contribuir para que melhorem a capacidade de resolver situações problemáticas. Por outro lado, é fundamental na resolução de problemas que os alunos apresentem um raciocínio flexível, sendo capazes de compreender e utilizar diferentes tipos de estratégias, quer visuais quer analíticas. No entanto, a componente visual é frequentemente negligenciada nas aulas de Matemática, fazendo com que os alunos privilegiem contextos numéricos. Neste sentido, o presente estudo pretende compreender o modo como alunos do 6.º ano de escolaridade resolvem problemas que envolvem a generalização de padrões em contextos visuais, tendo-se, para isso, definido as seguintes questões de investigação: (1) Como se caracterizam as estratégias de generalização aplicadas pelos alunos e de que forma são utilizadas?; (2) Que dificuldades ou erros emergem do seu trabalho?; (3) Qual o papel da visualização no desempenho dos alunos?; e (4) Qual o impacto da resolução de problemas com padrões, em contextos visuais, na capacidade de os alunos generalizarem? Para concretizar a investigação utilizou-se uma metodologia de natureza mista, na qual se privilegiou a vertente qualitativa baseada em quatro estudos de caso. O estudo de carácter longitudinal foi desenvolvido durante o ano lectivo 2006/2007, com duas turmas do 6.º ano de escolaridade. A recolha de dados incidiu sobre os alunos destas turmas em geral e, em particular, em dois pares de alunos de cada turma. Como principais fontes de recolha de dados privilegiou-se a observação, entrevistas realizadas aos alunos-caso, registos áudio e vídeo do trabalho realizado na aula e das entrevistas e uma diversidade de documentos, dos quais se destacam as folhas de resolução das tarefas exploradas e dos testes implementados, no início e no final do estudo, notas de campo e alguns documentos oficiais cedidos pelas escolas. A análise dos dados permitiu verificar que tarefas centradas na exploração de padrões visuais conduziram os alunos à utilização de uma grande diversidade de estratégias de generalização. Apesar desta diversidade, houve estratégias que os alunos aplicaram com maior frequência do que outras, normalmente as de natureza visual. Em geral, os alunos compreenderam as potencialidades das diferentes estratégias exploradas e em que situações seriam úteis, no entanto, em alguns casos em que deveriam descobrir valores distantes numa sequência recorreram a generalizações aritméticas, usando estratégias aditivas. Identificou-se que há alguns factores que podem condicionar a selecção das estratégias por parte dos alunos e potenciar a emergência de algumas dificuldades. Por exemplo, foi notório que normalmente recorreram a abordagens de tipo diferente quando tinham de determinar termos próximos e termos distantes, ou quando estavam perante um padrão de tipo linear ou não linear. Foi ainda evidente que as dificuldades com alguns tópicos matemáticos, geralmente no âmbito da geometria, condicionaram a adequação das estratégias aplicadas. Na análise das dificuldades sentidas, verificou-se também que o trabalho em contextos puramente numéricos conduziu a alguns erros, como a junção de variáveis diferentes ou a utilização indevida da proporcionalidade directa. Revelaram muitas dificuldades no recurso a linguagem apropriada para a descrição de regras, apoiando-se frequentemente em casos particulares que tinham estudado. É ainda pertinente destacar que nem sempre conseguiram formular relações de tipo funcional, geralmente com padrões de tipo não linear ou então quando a figura não permitia ver directamente a estrutura do padrão. Os resultados do estudo revelam ainda que a visualização foi útil sempre que os alunos conseguiram analisar a estrutura do padrão como uma configuração de objectos relacionados entre si por uma propriedade invariante. Nos casos em que as figuras foram interpretadas como um todo não foram capazes de identificar uma regra. Em termos gerais, a comparação dos resultados do pré-teste e do pós-teste permitiram concluir que houve uma evolução significativa no desempenho dos alunos ao nível da generalização.

Problem solving is a fundamental mathematical ability and simultaneously an approach for learning various concepts, representations and mathematical procedures. Therefore, it is distressing that our students perform badly when solving problems, both in mathematics classrooms and in national and international assessment studies. Pattern exploration tasks contribute to a greater involvement of students in mathematical activity, promoting the use of an organized thinking, based on conjecturing, generalizing and argumentation, which can contribute to the improvement of problem solving abilities. On the other hand, it is essential, when solving problems is involved, that students develop a flexible reasoning, being able to understand and use different types of strategies, either visual or analytical. However, the visual component of mathematics is often neglected by teachers, so students tend to use numerical contexts. This study seeks to understand how 6th grade students solve problems involving the generalization of visual patterns, and considers the following research questions: (1) How can we characterize students’ generalization strategies and how are they used?, (2) What difficulties or errors emerge from their work?, (3) What’s the role of visualization in their performance?; and (4) What’s the impact of solving problems centered on visual patterns in the ability of students to generalize? This research follows a mixed methodology, privileging a qualitative approach based on four case studies. The study had a longitudinal nature, developed during the 2006/2007 school year, with two 6th grade classes. In general, data collection focused on students of each of the classes and, in particular, in two pairs of students of each class. The main data collection instruments and procedures were observation, interviews with the case studies, audio and video records of the work developed in class and from interviews, and a variety of documents, among which are the tasks and the tests solved by the participants, field notes and some official documents, collected on the schools involved. Data analysis has shown that tasks centered on the exploration of visual patterns led students to the use of a wide range of generalization strategies. Despite this diversity, there were strategies that students applied more frequently than others, usually of visual nature. In general, students understood the potential of the different strategies explored and recognized the situations in which they were more useful. However, in certain cases, where they had to find distant values in a sequence, some students applied arithmetic generalizations, using additive strategies. It was identified that some factors influence the selection of strategies by students and enhance the appearance of some difficulties. For example, it was clear that normally students used different approaches to determine near and distant terms of a sequence, or when they were dealing with a linear or a nonlinear pattern. It was also clear that the difficulties with some mathematical topics, normally geometric ones, conditioned the adequacy of the strategies implemented. In analyzing the difficulties it was also found that the work developed in purely numerical contexts led to some errors, such as the mixing of different variables or the improper use of direct proportion. Students also revealed many difficulties in the use of appropriate language in the description of rules, often relying on particular cases. It is also relevant to point out that they weren’t always able to formulate a functional relation, usually with nonlinear patterns or when the figure didn’t allow them to see directly the structure of the pattern. Study results also reveal that visualization was helpful when students were able to analyze the structure of the pattern as a configuration of objects related to each other by an invariant property. In the cases where the figures were interpreted as a whole, they weren’t capable of identifying a rule. In general, the comparison of the results from the pre-test and the post-test showed that there was significant progress in student performance concerning generalization.