Problemas de electromagnetismo associados a leis não lineares

Abstract

Esta tese aborda o estudo de alguns problemas de electromagnetismo, considerando leis constitutivas do tipo potência em subespaços de Lp(Ω)3, com 1 < p < 1∞. O tratamento destes problemas necessita de um quadro funcional adequado, pelo que se faz a caracterização e o estudo das propriedades dos espaços Wp (div, Ω) e Wp (rot, Ω), dando particular atenção à condição de traço normal nulo. Partindo de um modelo evolutivo com acoplamento entre os sistemas electromagnético e térmico, considera-se uma formulação matemática mais geral, num quadro abstracto. No sentido de sistematizar o estudo deste problema e considerando p > 6/5, começa-se por provar existência de solução de um problema estacionário, de tipo elíptico, envolvendo apenas a componente proveniente da parte electromagnética. Faz-se em seguida o estudo do problema evolutivo associado, provando-se também a convergência da solução deste problema para a solução do problema estacionário, quando t tende para infinito e p ≥2. Considerando de seguida os problemas acoplados estacionário ou evolutivo, a utilização de um argumento de ponto fixo em conjunto com as estimações a priori e os resultados de dependência contínua dos dados obtidos para os problemas não acoplados, permitem garantir existência de solução em ambos os casos, com traço normal dado e p > 6/5. É referido de forma breve o tratamento dos problemas análogos com traço tangencial nulo. Finalmente considera-se um sistema hiperbólico que resulta da modificação de um modelo de antenas, introduzindo leis não lineares do tipo potência. Utilizando o método de Galerkin, os resultados de densidade obtidos na caracterização dos espaços e explorando a dualidade Lp -Lp’, mostra-se existência de soluções do problema considerado. Na obtenção, num sentido generalizado, das soluções, é utilizada uma passagem ao limite usando funções com valores nas medidas.

The purpose of this thesis is to study some mathematical problems in electromagnetism with nonlinear constitutive laws of power type in subspaces Lp(Ω)3, 1 < p < 1∞. A suitable new functional framework has to be considered. This leads us to characterize and to study the properties of the functional spaces Wp(div, Ω) and Wp(rot, Ω), with particular emphasis to the null normal trace boundary condition. In order to study an evolution system coupling the electromagnetic and thermal fields, we consider first the elliptic and the parabolic quasi-stationary electromagnetic problems in a more general abstract framework. For these decoupled problems, we prove the existence and uniqueness of solutions in the case p > 6/5, and we show that the solution of the evolution problem converges to the solution of the corresponding steady state problem when t goes to infinity and p ≥2. A fixed point argument combined with a priori estimates and continuous dependence results for the decoupled problems allow us to guarantee existence of solution for the steady state and evolutive coupled problems. Another problem arises in a modification of the antennas’ model with constitutive laws of power type. This consists of a new nonlinear hyperbolic system that extends a Duvaut-Lions model. Using the Galerkin method, the density results obtained in the functional spaces characterization and exploring the Lp –Lp’ duality, we prove the existence of solutions. These solutions are obtained, in a generalized sense, by passing to the limit and using measurevalued functions.