Osciladores harmónicos

Abstract

Para além da estruturação do pensamento e do desenvolvimento do raciocínio abstrato, é finalidade da disciplina de Matemática no Ensino Secundário a modelação e a aplicação da Matemática ao mundo real. O novo Programa Nacional de Matemática no Ensino Secundário introduz o tema “Aplicações aos osciladores harmónicos” no currículo do 12º ano, com entrada em vigor prevista para o ano letivo 2017/2018. Concretamente, o que está previsto no novo Programa é que, no estudo de funções do tipo → cos + , que já era feito anteriormente, seja agora feita interpretação física dos vários parâmetros envolvidos. O que se disse antes constitui a motivação para o título “Osciladores harmónicos” desta tese que, obviamente, não pretende ser um documento de trabalho para os alunos do 12º ano de escolaridade mas pode servir como ajuda para os respetivos professores. Neste trabalho são explorados sobretudo problemas com molas onde se despreza o atrito. Contudo, como o atrito está presente em todos os sistemas reais, reservamos uma secção ao estudo destes sistemas e das equações diferenciais a eles associadas. Dado o enquadramento deste estudo, incluímos também um conjunto de tarefas exemplificativas do que pode ser, na prática, a inclusão dos “Osciladores harmónicos” no 12º ano de escolaridade.

In addition to the structuring of thought and the development of abstract reasoning, it is the purpose of the subject of Maths in Secondary Education the modelling and the application of mathematics to the real world. The new National Programme for Mathematics in Secondary Education, in Portugal, introduced the subject "Applications to harmonic oscillators" in the curriculum of the 12th year, with its entry into force scheduled for the school year 2017/2018. Specifically, what is envisaged in the new programme is that, in the study of functions → cos + , which was already previously done, the physical interpretation of the various parameters involved will now be done too. What we said before is the motivation for the title – "Harmonic oscillators" – of this thesis which obviously is not intended as a learning tool for students in the 12th grade but can serve as an aid to their teachers. This thesis explores mostly problems with springs ignoring friction. However, as friction is present in every real system, we devoted a section to the study of these systems and to the differential equations associated with them. Given the framework of this study, we have also included a set of sample tasks of what, in practical terms, the inclusion of "Harmonic oscillators" in the 12th grade can be.