Estudos em álgebras de Ockham e em álgebras de Ockham duplas

Abstract

O estudo desenvolvido nesta tese aborda questões relacionadas com duas classes de álgebras: a classe das álgebras de Ockham e a classe das álgebras de Ockham duplas. Por álgebra de Ockham entende-se uma álgebra (L, ∧, ∨, f, 0, 1) do tipo (2, 2, 1, 0, 0) cujo reduto (L, ∧, ∨, 0, 1) é um reticulado distributivo limitado e tal que a operação f é um endomorfismo dual do mesmo reduto, isto é, f(0) = 1, f(1) = 0 e, para quaisquer x, y ∈ L, f(x ∨ y) = f(x) ∧f(y) e f(x ∧ y) = f(x) ∨ f(y). A classe das álgebras de Ockham é uma variedade, que denotamos por O, e é sobre algumas das suas subvariedades que vamos desenvolver o nosso estudo. Dados n ∈ N e m ∈ N0, denotamos por Kn,m a subvariedade de O que é caracterizada pela igualdade f2n+m = fm; aos elementos desta classe damos a designação de álgebras-Kn,m. Às álgebras de Ockham (L, ∧,∨, f, 0, 1) que satisfazem id ≤ f2n, com n ∈ N, chamamos álgebras-MSn, e a subvariedade de O por elas formada é denotada por MSn. Associada ao conceito de álgebra de Ockham surge a noção álgebra de Ockham dupla: diz-se que uma álgebra (L, ∧,∨, f, g, 0, 1) do tipo (2, 2, 1, 1, 0, 0) é uma álgebra de Ockham dupla se (L, ∧,∨, f, 0, 1) e (L, ∧,∨, g, 0, 1) são álgebras de Ockham. A variedade das álgebras de Ockham duplas é representada por O2 e uma das suas subvariedades é a classe das álgebras-MSn duplas, n ∈ N, caracterizada por fg = g2n ≤ id ≤ f2n = gf. São também objecto do nosso estudo as álgebras–Kn,m duplas, i.e., as álgebras de O2 que satisfazem f2n+m = fm, g2n+m = gm, gf = f2qn e fg = g2qn, onde n,m ∈ N e q é o menor número natural tal que q ≥ m/2n. Em 1995, T. Blyth e J. Varlet estudaram congruências definidas em álgebras-K1,1 e congruências definidas em álgebras-MS duplas. Em particular, estudaram congruências principais e, relativamente às que são complementadas, obtiveram a descrição do seu complemento assim como a sua caracterização. No primeiro capítulo do trabalho, generalizamos este estudo para congruências principais definidas em álgebras-Kn,m e para congruências principais definidas em álgebras-Kn,m duplas. Ainda no primeiro capítulo, analisamos uma outra questão que está relacionada com certo isomorfismo entre o reticulado de congruências de uma álgebra L ∈ Kn,m e o reticulado de congruências da maior subálgebra de L que pertence a K1,m: representando por L1,m esta subalgebra de L, analisamos em que condições a restrição a L1,m de uma congruência principal definida em L é também uma congruência principal em L1,m. No segundo capítulo o nosso objectivo foi determinar, para cada subvariedade V de MSn, n ∈ N, as cardinalidades admissíveis para o conjunto dos pontos fixos das álgebras (contáveis) que geram V e verificar quais destas cardinalidades são realmente atingidas. O interesse por este tipo de questão começou com as álgebras de De Morgan finitas, num trabalho realizado por J. Varlet, e o estudo foi depois sucessivamente estendido às variedades MS, K2,0 e MS2, por T. S. Blyth e J. Varlet, J. Vaz de Carvalho e M. Sequeira, respectivamente. Neste capítulo estendemos o estudo a qualquer variedade MSn. Dada uma álgebra L = (L, f) ∈ MSn, prova-se que, em certas condições, existe uma (e uma só) operação g definida em L tal que L’ = (L,f, g) é uma álgebra -MSn dupla; diz-se neste caso que L se estende a uma álgebra-MSn dupla. No terceiro capítulo estudamos questões relacionadas com esta noção: começamos por identificar as álgebras subdirectamente irredutíveis de MSn que se estendem a álgebras-MSn duplas e, dada uma álgebra L ∈ MSn que se estende a uma álgebra-MSn dupla, caracterizamos algumas das subálgebras de L que também se estendem a uma álgebra-MSn dupla.

In this thesis we study some questions about Ockham algebras and double Ockham algebras. An algebra L = (L, ∧, ∨, f, 0, 1) of type (2, 2, 1, 0, 0) is an Ockham algebra if (L, ∧, ∨, 0, 1) is a distributive lattice and f is a dual endomorphism of this lattice, i.e., f(0) = 1, f(1) = 0 and f(x ^ y) = f(x) ∨ f(y), f(x ∨ y) = f(x) ^ f(y), for all x, ∈ L. The variety of Ockham algebras is denoted by O and, given n ∈ N and m ∈ N0, we represent by Kn,m the subvariety of O whose elements satisfy the identity f2n+m = fm: The elements of Kn,m are called Kn,m-algebras. An Ockham algebra (L, ∧,∨, f, 0, 1) that satisfies id ≤ f2n, with n ∈ N, is called a MSn-algebra; MSn denotes the variety of these algebras. Associated to Ockham algebras we have the notion of double Ockham algebra; an algebra L = (L, ∧,∨, f, g, 0, 1) of type (2, 2, 1, 1, 0, 0) is said to be a double Ockham algebra if (L, ∧, ∨, f, 0, 1) and (L, ∧, ∨, g, 0, 1) are Ockham algebras. The variety of double Ockham algebras is represented by O2 and a subvaritey of O2 is the class of double MSn-algebras, n ∈ N, which is characterized by fg = g2n ≤ id ≤ f2n = gf. In this thesis we also consider the class of double Kn,m-algebras whose elements are Ockham algebras that satisfy f2n+m = fm, g2n+m = gm, fg = g2qn, gf = f2qn, for n,m ∈ N and where q is the smallest natural number greater than or equal to m/2n. In 1995, T. Blyth and J. Varlet studied congruences defined on K1,1-algebras and congruences defined on double MSn-algebras. In particular, they described the complement of principal congruences (when it exists) and, using this description, they also determined when the complement exists. In the first chapter of this thesis, we generalize the study of these questions for Kn,m-algebras and for double Kn,m-algebras: Also in the first chapter, we study another question that is related with a certain isomorphism defined between the congruence lattice of an algebra L ∈ Kn,m and the congruence lattice of the biggest subalgebra of L that belongs to K1,m: representing this subalgebra of L by L1,m, we determine in which conditions the restriction to L1,m of a principal congruence of L is a principal congruence of L1,m. Our purpose in the second chapter is to determine, for each subvariety V of MSn, n ∈ N, the cardinality of the set of fixed points of the (countable) algebras that generate V. This kind of question was first studied for finite De Morgan algebras, by J. Varlet, and the study was then generalized to the varieties MS, K2,0 and MS2, by J. Varlet and T. S. Blyth, J. Vaz de Carvalho and M. Sequeira, respectively. Given an algebra L = (L, f) ∈ MSn, it is known that, in certain conditions, there exists one (and just one) operation g defined on L such that L’ = (L, f, g) is a double MSn-algebra; we say, in this case, that L extends to a double MSn-algebra. In the final chapter, we study some questions related with this notion: we determine which subdirectly irreducible algebras can be extended to a double MSn-algebra and, given an algebra L ∈ MSn that extends to a double MSn-algebra, we characterize some subalgebras of L that can also be extended to a double MSn-algebra.