Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/1822/22995

TitleTeoremas clássicos sobre cónicas projetivas
Author(s)Ribeiro, Gerarda da Natividade Baptista da Silva Martins de Abreu
Advisor(s)Fernandez, Lucía
Vandembroucq, Lucile
Issue date2012
Abstract(s)As secções cónicas despertaram a curiosidade de muitos ilustres matemáticos ao longo dos tempos pela aplicação que estas curvas podem ter na resolução de várias situações reais. Neste trabalho pretendemos estudar as cónicas projetivas, isto é, estudar as cónicas aliando-as à geometria projetiva. Na Geometria Projetiva não existe o conceito de retas paralelas pois adicionam-se, ao plano afim usual, pontos “no infinito”de modo que duas retas quaisquer se intersetem sempre num ponto. Nesta geometria não fazem então sentido conceitos “métricos”(ˆangulos, distâncias ... ) mas há outros conceitos e propriedades que podem ser analisados, como as relações de incidência e colinearidade entre diferentes objetos. Por exemplo, estudaremos, entre outros, dois teoremas muito importantes da Geometria Projetiva, nomeadamente o “Teorema de Pappus” e o “Teorema de Desargues”. Com a introdução de pontos no infinito, a Geometria Projetiva permite uniformizar as cónicas. Não existem tipos diferentes de cónicas, isto é, não se distinguem elipses, parábolas ou hipérboles pois com a inclusão de zero, um ou dois pontos no infinito, respetivamente, essas figuras transformam-se no mesmo tipo de figura projetiva (cónica projetiva não degenerada). Sendo assim, qualquer propriedade projetiva que se verifique para uma cónica projetiva não degenerada particular, verifica-se também para qualquer outra. Deste modo, as demonstrações de propriedades relativas a cónicas projetivas tornam-se muito mais simples porque podemos particularizar essa demonstração para uma cónica projetiva não degenerada de equação mais simples ou que passe em determinado conjunto de pontos e concluir que essa propriedade é válida para qualquer outra cónica projetiva não degenerada. Outro aspecto muito interessante na Geometria Projetiva é o chamado “Princípio da Dualidade”, princípio este que permite que troquemos, nos enunciados das propriedades algumas palavras, tais como, reta por ponto ou concorrentes por colineares, entre outras. Deste modo, podemos obter novas propriedades a partir de outras já demonstradas sem a necessidade de as provar. Utilizando todas as vantagens que a Geometria Projetiva nos traz, estudaremos alguns teoremas clássicos sobre cónicas projetivas, entre os quais, o famoso “Teorema de Pascal” e o seu “Hexagrama Místico”.
Conic sections have piqued the curiosity of illustrious mathematicians throughout history, in part because of their many applications to practical problems. In this thesis we will study projective conics, i.e. we will study conics by making use of projective geometry. In Projective Geometry, one adds points ”at infinity”to the usual affine plane so that two lines always meet. Thus the concept of parallel lines no longer makes sense. Similarly, in this geometry ”metric”concepts such as angles and distances are not defined and instead one studies relations like incidence and collinearity. In relation to these, we will present two important theorems of Pappus and Desargues. By introducing points at infinity, Projective Geometry uniformises conics. There is no longer a distinction between ellipses, parabolas and hyperbolae as, by adding an extra zero, one or two points at infinity respectively, they all become the same type of projective figure (namely, a non-degenerate projective conic). The fact that all non-degenerate projective conics are projectively equivalent simplifies their study as one can start by picking a particular representation given by a straightforward equation, or passes through a prescribed set of points.
TypeMaster thesis
DescriptionDissertação de mestrado em Matemática
URIhttp://hdl.handle.net/1822/22995
AccessOpen access
Appears in Collections:BUM - Dissertações de Mestrado
DMA - Dissertações de mestrado

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